趙新華1， 劉英梅1， 喬 宇2
( 1.天津大學環境科學與工程學院，天津300072；2.天津大學機械學院，天津 300072)

　　摘　要：研究了城市給水管網可靠度的計算，首先從可靠度與圖論原理出發，闡釋了算法設計的依據，然后從管網結構的角度，以最小路原理為依據，應用最小路不交化方法設計了給水管網可靠度的算法并進行了實例驗證。
　　關鍵詞：城市給水管網；可靠度；最小路；不交化
　　中圖分類號：TU991.33
　　文獻標識碼：C
　　文章編號：1000-4602(2002)04-0053-03

?　以最小路不交化算法為核心，從管網的網絡系統結構入手，分析管段的關聯關系對管網可靠度的影響，采用遍歷計算的方式，從單個管段的可靠度計算出管網中水源點與任意非水源點的可靠度，取最小值作為管網系統可靠性的評價。

1 　計算依據

　　如果給定一個網絡，將其整體作為一個系統、每條弧作為一個組件。系統可靠性理論的中心問題是要確定系統可靠度與其組件可靠度之間的關系。?
1.1 管網組件可用度A
　　給水管網在實際運行中經常出現管段故障的情況，經維修后仍投入正常運行，那么稱這樣的管段為可維修組件，其可靠度用組件可用度A表示。?
　　組件在規定的條件下，在任意時刻上正常工作的概率稱為組件瞬時可用度A(t)；與瞬時可用度相對應的是瞬時不可用度，表示組件在規定的條件下使用時任意時刻故障的概率用Q(t)表示，顯然Q(t)=1-A(t)。?
　　采用組件瞬時可用度公式：?

　　

　　式中 ?λ——管網的故障率?
　　　　　 μ——管網的修復率?
　　將組件可用度A定義為管段從開始到使用壽命T這一時間段內的平均可用度，即求A(t)的數學期望E［A(t)］。由函數的數學期望公式得：?

　　

　　又因為f(t)在［0，T］時間段內服從均勻分布，f(t)=1/T、t∈［0，T］，故組件可用度的數學式表示為：

　　

　　相應的組件不可用度Q=1-A。?
1.2 管網系統可靠度
　　在研究系統可靠性時，首先對所研究的對象作4點假設：?
　　① 組件和系統都只有正常和失效兩種狀態；?
　　② 系統的狀態完全由系統的邏輯關系和組件的狀態決定；?
　　③ 組件的狀態轉移率即故障率λ和修復率μ均為常數；?
　　④ 組件或系統的故障和修復都相互獨立。?
　　采用最小路不交化算法求解。設G是一個給定的網絡，V₁、V₂是指定的兩個節點，則基本問題是求時刻T由輸入節點V1可以到達輸出節點V2的概率，亦即求時刻T系統正常的概率R。?
　　對網絡的路及最小路的定義如下：?
　　定義1對于給定網絡G，從指定的節點V1經過一串弧序列(或其中的一部分弧)可以到達節點V₂，則稱這個弧序列為從V1到V2的一條路。?
　　定義2對于給定網絡G，從節點V₁到V₂的弧序列稱作一條最小路，若滿足①它是一條路，②最小性，即從這個弧序列中除去任意一條弧后它即不是從V1到V2的路。?
　　由于系統正常這一事件可表示為S={V1可以到達V2}={由V1至少有一條最小路通到V2}，這里最小路是指組成這條最小路的弧都正常這一事件。因此，若記A1，A2，…，Am為網絡的所有最小路，則，，即將求可靠度問題轉化為求隨機事件和的問題。?
　　由概率論可知：　稱為容斥定理 。?
　　若能把系統正常這一事件表示成不交(即相斥)事件之和稱為相斥求和公式。?
　　當最小路數目不多時，用直觀方法可以得到全部最小路；若系統結構復雜，產生的最小路數目較多時，應采用圖論中的鄰接矩陣法［1、2］求全部最小路。用最小路不交化方法將相依事件轉化為相斥事件，然后利用相斥求和公式求解系統的可靠度，從而簡化了計算過程。?
　　定理1設A1，KAm為網絡G的所有最小路，A1，L，Ar的長度都小于n-1，A_r+1，L，Am的長度為n-1，且r＜m，則：

　　　　

　　其中右端、Br+1、L、Bm之間不交，而Br+1、L、Bm為Ar+1、L、Am中分別添上在其中不出現的(l-n+1) 條弧的逆而成之事件。?

2 　算法設計

　　對于已知結構的管網系統，每個水源點與每個非水源點之間的系統可靠度都可以采用最小路不交化算法求得，即：將水源點處理為輸入節點，非水源點處理為輸出節點，采用鄰接矩陣法求得網絡的所有最小路，并對所求得的所有最小路進行不交化處理，就可以結合組件的可用度進行此時的系統可靠度計算。?
　　假設管網的管段可用度Ax與管段不可用度Qx均已求出，且通過鄰接矩陣分析已知A1，KAm為管網G中水源點i與非水源點j之間的所有最小路，A₁，L，Ar的長度都小于n-1，A_r+1、L、A_m的長度為n-1，則其系統可靠度R的計算過程如下：
　　① 挑出長度為n-1的最小路全體A_r+1、KAm，利用公式 將求集合并的問題簡化為求代數和的形式，B_i是指在A_i中添上在其中不出現的(l-n+1)條弧的逆而成之事件，Bi之間不交，其概率之和作為系統可靠度的一部分，即最小路長度為n-1子集的可靠度R1。?
　　
　　循環計算，其中每一步使Aj與A1、L、Aj-1、不交，j=2,……，r(r為集合元素數)。
　　d.?F中還有項(即r_k+1≥1)嗎?若有，則K←K+1，轉b步驟)，否則結果R₂就作為系統可靠度的另一部分。
　　③ R=R1+R2即為系統可靠度，任一條不交化最小路B_i=x₁Lx_n-1xnLxl的概率為：P{B_i}=Ax1LAx_n-1Qx_nLQx_l。
　　在分別考慮了每個非水源點與水源點之間的系統可靠度后，給水管網的可靠度取其中的最小值，即最不利點的系統可靠度。?

3　 實際算例

　　某市一小區給水管網的規劃設計，管網共有20個節點，其中有一個水源點、19個用水點和28條管段(見圖1)，設計供水能力為131 L/s左右，全部管段采用DN100～DN500的鑄鐵管鋪設。?

　　 故障率λ定義為單位時間單位長度管線發生故障的次數。對該市多年的經驗數據進行統計，確定的管道故障率λ值見表1。

表1 管道故障率 管徑(mm) λ(次·a^-1·km^-1) 管徑(mm) (次·a^-1·km^-1) 100 1.02 300 0.78 150 0.95 400 0.68 200 0.90 500 0.51 250 0.85 600 0.45

　　修復率μ定義為單位時間管道維修的次數。根據該市大量管道維修業務臺帳進行統計，對于DN300及DN300以下的管道修復率取1095次/a，對于DN300以上的管道修 復率取730次/a。
　　本算例采用的時間段T值為5 A，從計算結果(表2)可見該小區的管網很可靠，即管段比較可靠和管網的網絡結構合理。在管網的運行中各個管段相互關聯，后者對于管網的改擴建工作尤其有重要意義，因為在不過多改變管徑的前提下，通過提高管網的連通性來提高管網的可靠性是既節約成本又保證管網可靠性的好方法。

表2 各管段可靠度計算結果 管段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 起點 20 1 1 2 2 3 5 7 5 6 6 7 7 8 終點 1 2 3 4 5 6 4 4 7 8 9 8 10 11 管徑(mm) 500 400 300 250 400 300 150 100 400 150 400 300 400 300 長度(m) 450 70 545 463 160 263 435 1115 180 495 180 170 270 396 可靠度(%) 99.93 99.93 99.76 99.92 99.88 99.77 99.88 99.81 99.79 99.70 99.72 99.74 99.40 99.71 管段 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 起點 9 9 10 11 11 14 16 14 12 13 17 17 17 18 終點 12 13 11 12 14 15 15 16 17 18 16 18 19 19 管徑(mm) 200 250 400 400 200 150 200 200 400 200 250 200 150 100 長度(m) 555 123 305 72 180 600 130 430 225 450 235 352 590 645 可靠度(%) 99.58 99.50 99.49 99.44 99.43 　 　 　 　 　 　 　 　 　

4 結語

　　從管網靜態結構出發計算了管網系統的可靠度，并利用實際管網的結構參數進行了驗證，證明了算法的有效性，但還需進一步研究的問題如下：?
　　① 改進現有算法，引入稀疏矩陣、并行計算等方法以提高運算速度，利于大型管網的計算研究。?
　　② 結合管網運行的動態性計算管網的水力可靠度，但是水力可靠度的分析與結構可靠度的分析是密不可分的，需要找到它們之間的綜合關系，進行管網系統可靠性的整體評價。?
　　③ 若把可靠度的計算與管網改擴建工作的綜合規劃相結合，將發揮更大的作用。

參考文獻：

　　 ［1］阿布拉莫夫H H.給水系統可靠性［M］.北京：中國建筑工業出版社，1990.
　　［2］Rajesh Gupta.Reliability analysis of water-distribution systems［J］.Journal of Environmental Engineering,120(2)：447-460.
　　［3］Bao Y，Mays L W.Model for water-distribution system reliability［J］.Journal of Hydraulic Engineering,116(11)：1119-1137.

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　　收稿日期：2001-10-11